简介：这是一份面向自动化、电气工程及其自动化、电子信息工程等专业学生的《自动控制原理》课程学习笔记，内容梳理自卢京潮教授的配套课程，适合课程学习与考研复习人群对照使用。笔记围绕控制系统基本概念、传递函数与状态空间建模、稳定性分析、控制系统性能指标、根轨迹法与频域分析、PID控制器设计以及现代控制理论等模块展开，较完整地覆盖了课程主线知识点。资源为PDF格式，共1个文件，压缩包约336.7MB，便于按章节查阅与打印。已有389人学习下载。笔记不局限于照搬课堂内容，还结合讲授思路对核心概念作了清晰整理，有利于快速建立整套知识框架，深入理解李雅普诺夫稳定性、状态反馈、观测器设计等难点，是一份可以反复研读的复习参考。

1. 自动控制原理笔记：为什么卢京潮这套课值得三刷四刷

很多自动化专业的学生都有同一种体验：卢京潮课上讲的时候觉得全都听懂了，合上笔记自己动手做题，面对根轨迹、奈奎斯特图照样发懵。《自动控制原理（卢京潮笔记）》这套资源之所以被一届届学生反复翻出来，是因为它把「建模—稳定性分析—性能指标—控制器设计」这条主线串得非常清楚，每个公式后面有推导逻辑，推导后面跟着典型例题。对自动化、电气工程及其自动化、电子信息工程专业的学生来说，它既能当学期中的跟课提纲，也能在期末和考研复习时当考点地图用。这篇笔记按卢京潮课程主线拆成六个模块，重点讲每一部分怎么理解、怎么套用、以及最容易被扣分的细节在哪。

2. 从传递函数到状态空间：建模这关过不了，后面全是空中楼阁

2.1 传递函数建模：结构图化简顺序与梅森公式的避错写法

自动控制原理的绝大多数题目，第一步都是把物理系统写成数学模型。卢京潮课程里最常用的描述方式是传递函数 G(s)，由微分方程做拉氏变换得到。考试里很少直接给你一个现成的传递函数，更多是给结构图或者信号流图，让你自己化简求出闭环传递函数。

结构图化简的核心规则只有三条：串联环节相乘，并联环节相加，反馈回路用 G/(1+GH)。注意正反馈时分母变成 1-GH，符号反了整道题的传递函数就废了。我的习惯是先处理最内层的反馈回路，每化简掉一个回路，就重新画一张简化结构图，绝不原地涂改。涂改在练习本上看没问题，但在卷面上很容易把负号抄丢。

遇到前向通路多、交叉反馈多的结构图，我一般直接换成信号流图用梅森公式。梅森公式的分子是各前向通路增益与对应余因式的乘积之和，分母是 1 减去所有回路增益之和，再加上两两互不接触回路增益乘积之和，依次交替。最容易错的就是「互不接触」的定义：两条回路只要共用一个节点，就不能算互不接触。

提示：考试时间紧张时，两种方法二选一即可。我一般优先梅森公式，虽然写起来长一点，但每一步都有明确的求和规则，不容易翻车。

这里插一个最常见的物理建模例子。质量-弹簧-阻尼系统，运动方程为 m·x'' + c·x' + k·x = f(t)，对等式两边做拉氏变换，零初始条件下得到 G(s) = 1/(m·s² + c·s + k)。三个参数 m、c、k 直接对应二阶系统的等效质量、阻尼系数和刚度，做题时先写出这个标准分母，再去匹配 ζ 和 ωn，比死记公式稳得多。

2.2 状态空间建模：能控标准型的写法与系数对应关系

传递函数处理单输入单输出线性系统够用，但到多输入多输出、或者设计状态反馈控制的时候，必须换成状态空间描述。卢京潮课程后半部分讲状态空间，本质上是为现代控制理论铺路。

状态空间标准形式是 x' = Ax + Bu，y = Cx + Du。从传递函数化为状态空间的考试题，最常用的是能控标准型。设传递函数为

G(s) = (b0·s² + b1·s + b2) / (s³ + a1·s² + a2·s + a3)

分母已经化为首一多项式时，A 矩阵取友矩阵形式，B 矩阵是 [0;0;1]，C 矩阵是分子系数按降幂排列。

这里有两处最容易错。第一，C 矩阵的系数顺序必须和 A 矩阵的状态变量定义对应，顺序写反属于低级但致命的错误。第二，分子系数 b0、b1、b2 直接写进 C 矩阵，不需要再除以分母首项系数，前提是分母已经是首一多项式。如果题目给的是非首一分母，必须先归一化再列写。

状态空间相比传递函数还有一个隐藏优势：能处理初始条件不为零的情况。传递函数默认零初始条件，而状态方程可以在求解时显式带上 x(0)，这对后面理解状态观测器特别重要。笔记里这部分篇幅不大，但所有例题都在反复强调同一件事：先确认分母首一，再写 A、B、C，最后验算一次特征方程是否等于原分母。

2.3 建模阶段的量纲与符号约定：分母首一化为什么重要

做题时很多人在建模阶段就开始丢分，其实不是公式不会，而是符号约定没统一。卢京潮笔记里全程约定开环传递函数写为 K·(零点多项式)/(极点多项式)，分母习惯化为首一。这个约定直接影响后面根轨迹的增益 K 和开环增益之间的换算。

我见过太多人在这一步栽跟头：用非首一分母去画根轨迹，画出来的起点和终点都对，但渐近线和分离点全偏。所以建模一结束，先检查分母是否首一，不是就先归一化，再进入稳定性分析。这个小习惯能省掉后面至少十分钟的排查时间，也能避免在考场上出现「算到一半发现根轨迹方程和劳斯表对应不上」的尴尬。

3. 稳定性分析的三条路径：劳斯判据、根轨迹与奈奎斯特怎么配合用

3.1 劳斯判据：先验证必要条件，再列劳斯表，特殊情况单独处理

劳斯判据是稳定性分析里计算量最小、性价比最高的一种方法，它不需要求解特征方程，只需要列出劳斯表，观察第一列符号变化次数就能判断右半平面极点数。

操作步骤拆开是三步：

1. 写出闭环特征方程 D(s) = 0，先看一眼系数是否全部为正，不满足直接判不稳定，这一步能秒杀一批送分题。
2. 按 sⁿ、sⁿ⁻¹ 降幂排前两行，依次计算后面每一行。
3. 观察第一列符号变化次数，每变化一次就对应一个右半平面极点。

以三阶系统 D(s) = s³ + 2s² + 3s + 4 为例，劳斯表第一列依次是 1、2、1.5、4，符号没有变化，系统稳定。把常数项改成 -4，第一列会出现一次符号变化，立刻就能判断有一个右半平面极点。整个过程不需要解方程，五分钟内能做完。

劳斯表计算有两个经典特殊情况。第一列出现 0 时，用一个小正数 ε 替代后继续算，最后让 ε 趋于 0 判断符号。某一行全为 0 时，说明特征方程存在关于原点对称的根，需要用上一行构造辅助方程，求导后得到新行再继续。

注意：全零行不能被忽略，它意味着系统可能存在共轭虚轴根，对应系统临界稳定。考试题里这个点非常喜欢挖坑，具体处理方式放到第 5 章的避坑记录里细说。

3.2 根轨迹法：起点终点、渐近线与分离点的三个核对点

根轨迹描述开环增益 K 从 0 变到无穷时闭环极点的移动路径。卢京潮笔记里把画根轨迹的流程总结成一套固定套路：起点（开环极点）→ 终点（开环零点或无穷远）→ 实轴上的根轨迹 → 渐近线 → 分离点 → 与虚轴交点。

实轴上的根轨迹判断是关键的第一步：实轴上某一段右侧的实数零极点总数为奇数，则该段在根轨迹上。这个「奇数」规则是画图第一步，画错后面全错，判断时只数实数零极点，复数零极点不参与计数。

渐近线需要算两个量：与实轴的交点 σ = (Σ极点 - Σ零点)/(n - m)，夹角 φ = (2k+1)π/(n - m)。这里的 k 取整数，直到凑满 n-m 条渐近线。分离点满足条件：Σ 1/(s - pᵢ) = Σ 1/(s - zᵢ)，或者直接求 K 对 s 的导数为零。

求出分离点后必须反代回根轨迹方程验证，确认它确实在实轴根轨迹段上，这是很多人漏掉的验证步骤。根轨迹画完，还要能回答两个问题：系统在什么 K 值下临界稳定，什么 K 值区间内稳定。前者看根轨迹与虚轴交点，后者结合劳斯判据求临界增益 K，两边一夹就得到稳定区间。这套「根轨迹画图 + 劳斯求临界增益」的组合，是期末大题的标准玩法。

3.3 频域法：幅值裕度、相位裕度与交界的读取细节

频域分析法把传递函数里的 s 换成 jω，用开环频率特性判断闭环稳定性。奈奎斯特判据本质上是从开环 Nyquist 曲线绕 (-1, j0) 点的圈数判断闭环右半平面极点数。本科阶段更常用的是 Bode 图上的两个裕度指标。

相位裕度 γ = 180° + ∠G(jωc)，其中 ωc 是穿越频率，即 |G(jωc)| = 1 的频率，对应对数幅频曲线穿越 0 dB 线的频率。幅值裕度通常写为 kg = -20lg|G(jωg)|，其中 ωg 是相位穿越频率，即 ∠G(jωg) = -180° 的频率。

工程上的经验值：相位裕度在 30°～60° 之间、幅值裕度大于 6 dB，系统的动态响应比较合适。相位裕度过小，超调大、振荡明显；幅值裕度过小，靠近临界稳定，参数一漂就可能不稳定。

Bode 图读裕度时，最容易错的是相频曲线跨过 -180° 不止一次的情况。如果系统有滞后环节或多个惯性环节，相频曲线可能多次穿越 -180°，这时候要选第一个使闭环稳定裕度最小的穿越点来读幅值裕度，而不是随便取一个。判断口诀：找相频曲线从上方往下穿过 -180° 的那个点，对应的幅值裕度才有工程意义。

4. 控制器设计与性能指标：PID 整定和串联校正在考场上怎么选

4.1 性能指标的互相牵扯：超调量、调节时间与稳态误差不能同时最优

二阶系统的时域指标是本科考试的高频考点。对标准二阶系统，传递函数分母写为 s² + 2ζωn s + ωn²，那么：

阻尼比 ζ 越小，超调越大、上升越快；ζ 过大，系统反应慢。ωn 增大能让各项时域指标整体变快，但会带来闭环带宽增大、对噪声更敏感的问题。稳态误差则由系统型别和开环增益决定，跟 ζ、ωn 没有直接关系。这就是典型的多目标矛盾：想超调小就得加大阻尼，想响应快就得压低阻尼，想稳态准就得加积分，但积分又会增加超调。

卢京潮笔记里强调过一个很容易忽略的点：时域指标公式都是在典型二阶系统零极点对消的前提下才成立。实际系统如果有额外的零点或极点，公式要打折扣。考试里如果题目明确说高阶系统可用主导极点近似，才可以直接套公式，否则先判断有没有零点和闭环主导极点靠得近的情况。

4.2 PID 参数整定：从临界增益法到工程试凑的完整路径

PID 控制器传递函数为 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s，三个参数各有分工：Kp 减小稳态误差、加快响应；Ki 消除稳态误差但增大超调；Kd 增大阻尼、抑制超调但对高频噪声敏感。

工程上最先可以上手的整定方法是 Ziegler-Nichols 临界增益法，步骤分三步：

1. 只保留比例环节，把 Kp 从 0 逐渐增大，直到系统输出出现等幅振荡。
2. 记录此时的临界增益 Ku 和振荡周期 Tu。
3. 按下表查 P、PI、PID 三组参数。

这个方法适用性很广，但有个前提：系统允许做临界振荡实验。考试题里给的是传递函数，可以用劳斯判据先算出临界增益 Ku，再配合根轨迹求振荡频率，就不需要真做实验。换句话说，临界增益法在考场上其实是一道「劳斯判据求 Ku + 查表」的综合题。

实际做仿真时，我习惯在临界增益法给出的参数基础上再微调：超调偏大就先降 Kp 或加 Kd，稳态误差消不掉就缓加 Ki，每改一次跑一次阶跃响应，看超调量和调节时间的变化。纯理论题里要注意区分，Ziegler-Nichols 给出的参数是针对单位反馈标准型，若系统本身带滤波器或其他环节，要先把系统化成标准形式再整定，否则查表结果套进去全是偏的。

4.3 串联校正：超前网络提相位裕度，滞后网络提稳态精度

串联校正是经典控制里最综合的考点。超前校正网络传函写成 Gc(s) = (1 + aTs)/(1 + Ts)，其中 a > 1，它提供正的相角，把 Bode 图的中频段抬高，从而增大相位裕度和穿越频率。

超前校正的设计步骤一般是：先根据稳态精度要求确定开环增益，再用未校正系统的 Bode 图读出相位裕度，计算需要补偿的相角，然后确定超前网络的最大相角频率和参数 a、T。滞后校正的传函 Gc(s) = (1 + Ts)/(1 + bTs)，b > 1，作用是在不显著改变相位裕度的前提下压低高频增益，从而减小稳态误差。

选型有一条简单的口诀：需要加大穿越频率、提高快速性时用超前；需要降稳态误差、又不希望牺牲太多稳定性时用滞后。滞后校正会让穿越频率左移，响应变慢，这与超前正好相反。很多同学在这里犯的典型错误是：一看到稳态误差大就无脑上滞后，结果算完发现相位裕度反而跌破了要求，因为滞后网络在中频段也引入了少量负相移，设计时必须留出 5°～12° 的余量，这块笔记里有专门标注，考前值得重点看。

5. 自动控制原理避坑记录：五个最容易丢分的细节

5.1 劳斯表第一列出现 0：直接判不稳定，临界稳定分全丢

现象：列劳斯表时第一列某一格为 0，有同学直接写「系统不稳定」，对答案发现系统其实是临界稳定或者条件稳定，整道判断题白给。

原因：0 既不是正也不是负，第一列的符号变化次数无法确定，不能直接下结论。这种情况在小阻尼系统和含积分环节的系统中很常见。

解决：把 0 替换成一个小正数 ε，继续计算后续所有行，最后让 ε 趋于 0，重新观察第一列每个符号的极限。若计算过程中某一行整行为 0，则用上一行构造辅助方程，对辅助方程求导得到系数填入新行，再继续。这套流程卢京潮笔记里讲得很细，考场上按顺序走不会乱。

5.2 根轨迹实轴段判断反了：右侧零极点总数数错

现象：实轴根轨迹画在错误区间，导致分离点、渐近线全部跟着错，后面求稳定 K 值区间也全废。

原因：判断条件记成「左侧零极点总数为奇数」，或者数的时候把复数零极点也算了进去。实际上只看实轴上某段右侧的实数零极点个数。

解决：对实轴上某一区间，数它右侧的所有实数零点和实数极点，总数为奇数则该段在根轨迹上；复数零极点在实轴上的投影不影响这个判断，直接忽略。画完实轴段后，顺手把每个区间的左右两侧零极点个数验算一遍，五秒钟的事能避免整道大题翻车。

5.3 稳态误差系数与输入类型没对应：斜坡输入套了位置误差系数

现象：输入为单位斜坡 r(t) = t 时，用 Kp = lim G(s) 计算稳态误差，算出无穷大，然后开始怀疑系统建模错了。

原因：位置误差系数 Kp 只对应阶跃输入，斜坡输入要用速度误差系数 Kv = lim s·G(s)，抛物线输入用加速度误差系数 Ka = lim s²·G(s)。三个系数对应三种典型输入，不能混用。

解决：先判断系统型别 v，即开环传递函数中积分环节的个数。0 型系统对阶跃有有限稳态误差，对斜坡误差无穷大；1 型系统对阶跃误差为 0，对斜坡有有限误差；2 型系统对阶跃和斜坡误差都为 0，对抛物线有有限误差。背熟这张对应表，稳态误差题基本是送分。

5.4 Bode 图相位裕度读法：把 -180° 当成了相角的起点

现象：从 Bode 图读相位裕度，直接把相频曲线在穿越频率处的纵坐标值当成裕度，算出来一个很大的负值或者看起来不对的正值。

原因：相位裕度定义是 γ = 180° + ∠G(jωc)，而不是直接读相频曲线的纵坐标。相频曲线的纵坐标本身已经是从 0° 开始往负方向转的角度，需要加上 180° 才能换算成裕度。

解决：先找到幅频曲线穿越 0 dB 线的频率 ωc，再在相频曲线上读出该频率对应的相位角 φ(ωc)，计算 γ = 180° + φ(ωc)。若 φ(ωc) = -150°，则 γ = 30°，系统稳定但裕度偏小；若 φ(ωc) = -190°，则 γ = -10°，系统已经不稳定。每次读图都按「找 ωc → 读 φ → 加 180°」三步走。

5.5 PID 仿真里微分项失效：输出毛刺超调反而更大

现象：在 Simulink 或 Python control 里加 Kd 想抑制超调，结果输出出现高频毛刺，超调反而变大，整定过程进入玄学状态。

原因：微分项对误差信号的变化率敏感。仿真步长太大或者被控对象输出含噪声时，微分项的瞬时值会被放大，相当于给系统注入高频扰动，这时候 Kd 不是阻尼而是噪声放大器。

解决：先把仿真步长调小、确认被控对象信号是光滑的，再调 Kd。现实工程里用实际微分或低通滤波后的微分，一般不给纯微分环节。考试题里如果明确给纯 PID 传函，则按理想公式算；做题归做题，仿真归仿真，别把理想公式直接丢进带噪声的仿真里。这个区分做好了，能省下大量调参时间。

6. 考前冲刺：把笔记压缩成一页考点自检图

6.1 一页纸闭环与公式反代

考前一周我一般不再逐章看笔记，而是用「一页纸闭环」的方法过知识点。准备一张 A4 纸，按卢京潮笔记的章节顺序，把每个模块的公式和判断条件浓缩成关键词树：传递函数 → 结构图化简/梅森公式；稳定性 → 劳斯表/根轨迹/奈奎斯特；性能指标 → σ%、ts、ess；校正 → 超前/滞后/PID。合上笔记，凭记忆把这棵公式树默写出来，再翻开笔记逐项对照，漏掉的就是薄弱点。

默写完之后，再用代码验证一次最核心的二阶系统公式，确保不会记错。以 ζ = 0.5、ωn = 1 的标准二阶系统为例：

import control as ct import numpy as np wn = 1.0 zeta = 0.5 sys = ct.tf([wn**2], [1, 2*zeta*wn, wn**2]) t, y = ct.step_response(sys) sigma_sim = (max(y) - 1) * 100 sigma_theory = np.exp(-np.pi * zeta / np.sqrt(1 - zeta**2)) * 100 print(f"仿真超调量: {sigma_sim:.2f}%") print(f"理论超调量: {sigma_theory:.2f}%")

参数说明：分母写成 s² + 2ζωn s + ωn²，分子取 ωn² 保证稳态输出为 1，这样超调量可以直接用百分比比较。ζ = 0.5、ωn = 1 时，理论超调量约为 16.3%，仿真跑出来的值应该非常接近。如果偏差超过 0.5 个百分点，基本是分母系数写错了，优先检查 2ζωn 那一项。

这个验证习惯是我当年复习时踩过坑才养成的。有一段时间我背超调量公式背得很熟，但从没想过用仿真去对一次，结果临考前一天帮同学调参数，发现算出来的超调量和实际曲线对不上，回去一查才发现 ζ 代入时分母的 2ζωn 系数记错了。从那以后，我每次考前都会把笔记里最核心的公式用仿真或题目反代验证一遍，确认它落在笔记的框架里，不凭感觉背。这套笔记我习惯直接拿来做默写底稿和公式反代的对照表，希望这个「一页纸闭环加公式反代」的方法也能帮到你。

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