很多人学完傅里叶级数又学傅里叶变换会在“周期信号”这里卡一下。老师说周期信号不满足绝对可积条件所以常规傅里叶变换收敛不了。可你把一个周期方波送到频谱仪上屏幕上又分明是一根根离散谱线。于是问题来了那根谱线到底是怎么算出来的如果周期信号不能做傅里叶变换我们平时说的“频谱”又是在说什么真正让人混乱的不是“能不能算”而是两套描述方式没有接上。傅里叶级数给的是离散的系数序列傅里叶变换给的是连续的频谱密度它们看上去像两套工具。但对同一个周期信号它们描述的是同一件事。把这件事接上只需要引入冲激函数把级数算出来的离散系数“安放”到对应的谐波频率上。这样得到的周期信号傅里叶变换并不是一个“不存在的分析”而是一组排列在谐波频率上的冲激串。我更愿意用一个判断来记这个结论周期信号的傅里叶变换本质是把单周期连续谱上的有限样本用离散冲激串重新表达出来。时域一旦开始周期重复频域就会丢掉大部分连续频率信息只留下基波频率整数倍处的那批“采样点”。这篇文章不急着罗列公式而是从一个最常见的周期矩形脉冲走完整个推导再给出速查表、画图约定和自查清单。你之后做采样、做谐波分析、看频谱仪读数都会反复撞见同一张图。1. 周期信号做傅里叶变换别扭的根源只在“可积性”1.1 常规傅里叶变换为什么在这里失效按角频率定义的傅里叶变换是$$X(\omega)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t},dt$$要它成立通常要求信号满足绝对可积$$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|,dt\infty$$而一个余弦信号、方波脉冲串只要周期存在它在整个时间轴上的能量不会衰减积分结果是发散的。所以从入门教材的保守定义看周期信号确实不能直接套公式。但这不等于周期信号没有傅里叶变换。我们后面要引入冲激函数把计算放在广义函数意义下进行。这里的冲激不是“一个无穷大的值”而是“这个频率点上集中了有限强度”的记号。只要正确解释它算式完全自洽。顺便说一句很多人因此把周期信号“开除”出傅里叶变换的讨论范围这是因噎废食。后续遇到系统频响分析时输入是余弦信号你仍然要写它的频谱是两条冲激遇到采样定理时周期冲激串也天然是默认工具。如果周期信号没有广义傅里叶变换这些推导全都要另起炉灶。1.2 其实你手里已经有钥匙傅里叶级数周期信号天然可以写成所有谐波叠加$$x_T(t)\sum_{n-\infty}^{\infty} C_n e^{jn\omega_0